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转自知识分子，仅用于学术分享，如有侵权留言删除2022年4月，丘成桐在清华大学。图源：清华大学
撰文｜丘成桐
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1978年，29岁的丘成桐在《纯粹与应用数学通讯》发表卡拉比猜想的完整证明，解决了复几何领域一个悬而未决二十余年的难题。[1]这是数学史上璀璨的一笔，开启了几何分析的新时代，由此发展出的成果甚至不断延伸至代数几何、拓扑学和理论物理等领域。
卡拉比猜想的证明工作实际上在1976年已经完成。当年圣诞节，丘成桐与猜想提出者卡拉比（Eugenio Calabi）及纽约大学数学家路易斯·尼伦伯格会面，经两人检查证明过程并确认其正确性。
也正因此，2026年是卡拉比猜想被证明的50周年。
围绕卡拉比猜想形成的新方法和理论，推动了大量研究成果的涌现。丘成桐也因其在微分几何、偏微分方程等领域的一系列贡献，于1982年成为首位获得菲尔茨奖的华人数学家。
丘成桐在自传中描述解决卡拉比猜想那一瞬间：“不知何故令我对大自然有了一种新的认知和感受。”[2]
这种对数学结构与时空之间的深层感悟，在此后的物理学界找到了回响。1985年，四位物理学家将满足特定条件的卡拉比-丘流形引入超弦理论，为额外维度的紧致化提供了数学基础。[3]斯坦福大学物理学家萨斯金（Leonard Susskind）称，卡拉比-丘流形是“弦论的DNA”。
2026年9月7日，清华大学求真书院、北京雁栖湖应用数学研究院、清华大学丘成桐数学科学中心在北京举办"传承与未来:卡拉比-丘理论发展五十周年学术研讨会”。
中国科学院高能物理研究所所长曹俊在会上表示，卡拉比-丘流形对人类探索时空结构、物质最小组成单元以及基本相互作用规律产生了深远影响。
他指出，弦理论是目前探索统一描述自然界基本相互作用最有希望的理论框架之一，其自洽性要求十维时空，而卡拉比-丘流形为额外六维空间的紧致化提供了几何基础，其几何结构可能进一步决定四维时空中的物理规律。
卡拉比-丘理论的发展并未就此止步。丘成桐回顾：“到了1988年，人们已不再视卡拉比-丘流形为热门课题。但我从未放弃对这些优美流形的研究。”
此后，布莱恩·格林（Brian Greene）与罗南·普莱瑟（Ronen Plesser）在卡拉比-丘流形中发现镜像对称的重要证据，推动了这一领域新的发展。“自那时起，三十年过去了，期间发展出了许多优美的理论，其中大多数都引人入胜。”丘成桐说。
在丘成桐看来，卡拉比-丘流形的探索仍未结束。就像椭圆曲线被作为数论和代数几何的主要工具，卡拉比-丘流形或许也将发挥类似的作用。
2014年7月，丘成桐曾赋词一首《临江仙：记七六年事》。
字形雾笼烟锁，遍寻缱绻难持。灵犀一点倩谁知？落花人独立，微雨燕双飞。
记得好事新谐，笙调心印人依。弦琴天籁寄相思，大钧玄秘在，物数竟同归。
在注释中，丘成桐回忆自己少年时便怀有“欲解宇宙之形，究天地之变”的志向。历经“六年辛勤、终无所成”的迷茫，他在1976年秋天完婚后，“不旬日竟得灵犀，解估值之谜，见时空之雅致。仿若天人合一。”
丘成桐曾在与史蒂夫·纳迪斯合著的《大宇之形》中详述了卡拉比猜想的探索历程。该书中文版于2018年首次出版，并于2026年5月推出最新修订版。
在卡拉比-丘理论五十周年之际，《知识分子》特此节选相关内容，以飨读者。
美到难以置信：卡拉比猜想
几何分析这项新利器的第三项重大成就，是关于“卡拉比猜想”。这个猜想是由数学家卡拉比（Eugenio Calabi）在1953年提出的。往后的发展证明，卡拉比猜想对于几何分析以及对于我个人影响都极为深远。我认为自己能够巧遇，或者该说是一头撞上卡拉比的想法，是我莫大的幸运。（更何况那年头还不时兴戴安全帽，哈。）任何有足够才智和训练的数学家，都有可能对这个领域有所贡献，但要找到特别适合你的才智和思考风格的研究课题，就得依靠运气了。
虽然我在数学上有过几次幸运的遭遇，但是遇见卡拉比猜想无疑是一个亮点。卡拉比猜想的问题形式，是要证明“复空间”（complex space）的拓扑性质以及其几何性质（或曲率）之间的联系。基本想法是以某个单纯的拓扑空间为起点，建立起某种几何结构，以便稍后再以各种方式处理。卡拉比所问的问题虽然在细节上极有原创性，但在形式上则是常见的几何学问题：给定一个一般的拓扑空间，或说粗糙的形体，究竟上面容许哪些几何结构？
这么说来，卡拉比猜想并不像是饱含物理意义的问题。且让我换种方式重述一次。卡拉比猜想所讨论的是具有一种特殊曲率（称为“黎奇曲率”）的空间，而一个空间的黎奇曲率和该空间的物质分布有关，如果我们说一个空间是“黎奇平坦”的，意思是它的黎奇曲率为零，亦即空间中没有物质。从这个角度来看，卡拉比所问的问题其实密切联系到爱因斯坦的广义相对论：假如我们的宇宙全无任何物质，它还会有引力吗？如果卡拉比是对的，曲率可以让空无一物的空间仍然有引力。不过他的表述更普遍，涉及的不仅是广义相对论所设定的四维时空，还包括任何偶数维度的空间。然而对我而言，把这个猜想放在这样的物理架构中来理解，是最令人兴奋的表达方式。它和我的信念起了强烈的共鸣：数学中最深刻的理念，只要证明为真，几乎总是有重要的物理意义，并展现于大自然之中。
无论卡拉比是否有意识地思及物理学，他的几何猜想与引力之间的联系，是促使我着手研究的主要动机。我体认到，证明卡拉比猜想可能是发现某些深刻奥秘的重大步骤。
像卡拉比猜想之类的问题，通常是以空间上的度量来表述。关于一个空间可以“支持”怎样的度量，卡拉比猜想所问的，也可以说成：给定一个空间的拓扑形态，它容许怎样的几何形状？他想要知道的是，某一种紧致（亦即范围有限）的复流形（称为“凯勒”空间），如果满足特定的拓扑条件，是否同样也能满足具备黎奇平坦度量的几何条件。坦白说，这个猜想所用的术语都很不容易理解，要替这些观念下定义，得花好些工夫。总之，猜想的要旨在于，合乎上述这些复杂要求的空间，在数学上和几何上是可能存在的。
对我而言，这样的空间犹如钻石般稀有，而卡拉比猜想提供了找到它们的地图。如果你知道如何在一流形上解出该方程，而且能了解该方程的整体结构，那么你就可以在合乎该条件的“所有”凯勒流形上，使用相同方法来解出此方程。卡拉比猜想提供了普遍的法则，告诉我们“钻石”的确在那儿，我们寻找的特殊度量确实存在。即使看不到它璀璨的全貌，仍然可以确信它是真品。所以在数学理论中，这个问题犹如珍贵的宝石，或者也可说是未琢的璞玉。
从这里产生出我最为人熟知的成果，这甚至可说是我的天职。不论大家的工作岗位是什么，每个人都希望能找到真正的人生使命，自己来到这世上的真正目的。对演员来说，那可能是饰演《欲望街车》里的史丹利·科瓦斯基，或是《哈姆雷特》中的主角。对于消防员，那可能是扑灭一场超级大火。如果是执法人员，那可能是逮捕头号人民公敌。而在数学里，则可能是找出那个你命中注定要研究的问题。又或许，跟宿命毫无关系，只是找到一个你够幸运能解决的重大题目。
坦白说，我是一个比较务实的人，当我选择研究课题时，从来不曾想过“宿命”。我或者是去寻找新方向，希望能够带出一些日后证明具有重要意义的数学问题；又或者是挑选现有的问题，以期在更深刻地理解它之后，能引导我们见到另一个新视野。
存在已有一二十年的卡拉比猜想属于后者。我在进研究所的第一年就紧抓住这个题目，不过有时候，反倒像是问题缠上了我。在此之前，以及从此之后，都不曾有其他题目这么强烈引起我的兴趣，我感觉到它可以开启一门新的数学分支。虽然卡拉比猜想隐约与庞加莱的经典猜想相关，但我觉得它的意义还要更加深远，因为如果卡拉比的预感是对的，它将会得出一大类我们当时仍一无所知的几何空间，甚至还可能带来对于时空的新认识。对我而言，这个猜想几乎是无法逃脱的，在我早期的曲率研究工作中，不管哪一条路最后都指向卡拉比猜想。
完整的卡拉比猜想并不仅限于黎奇曲率为零。黎奇曲率为常数的情形同样也很重要，特别是在负曲率时，我最终用它解决了几个代数几何的著名问题。尽管如此，黎奇曲率为零的情形仍有其特殊地位，因为它的曲率不仅是常数，而且不多不少恰恰是零。这就形成了一项重要挑战：找出一个或一整类流形的度规，使其不仅近乎完美，而且不会无趣。
一切听起来都很美妙，不过这儿有个陷阱：卡拉比真的对吗？在卡拉比提出猜想二十余年以来，除了他本人之外，没有几个数学家相信他的猜想是真的。其实，许多人反倒觉得它好到不可能是真的；我就是其中之一。但我不愿把怀疑藏在心里，只在场外指指点点而已。恰恰相反，我下定决心要证明卡拉比猜想是错的。
证明卡拉比（是错？是对？）
我试着利用闲暇时间来寻找卡拉比猜想的反例。其中不乏令人兴奋的时刻：我会找到某个似乎能否定猜想的进攻路线，但稍后不免发现我那看似完美无瑕的推理总是有着缺陷。这样的情形屡屡发生。1973年时，我得到灵感，心中觉得这次真的大有可为。我采取的策略是归谬证法，和孙理察与我证明正质量猜想时的策略是类似的。在我来看，我的论证无懈可击。
很凑巧地，我这次的灵感也是在1973年斯坦福大学举办的国际几何研讨会上得到的，亦即格罗赫谈到正质量猜想的那场研讨会。一般来说，参加学术会议是得知你的领域内和领域外最新进展的好方法，而这次也不例外。它们是和难得见面的同行互相交换想法的绝佳场合。然而，难得会有一场研讨会就此改变了你的生涯历程，遑论改变两次！
与会期间，我不经意地和一些同行提到我或许找到了可以彻彻底底否证卡拉比的方法。虽然我已经排定了几场正式演讲，但在几番怂恿之后，我还是答应在某一天的晚饭后，非正式地谈谈我的想法。当晚大约来了二十人，气氛非常热烈。当我讲完后，大家似乎都同意这推理很扎实。当时卡拉比也在场，他也没有提出异议。他们说我这项研究成果是对本次会议的一大贡献，事后我也觉得很满意。
可是数月后，卡拉比跟我联络，因为他对论证里的某些细节感到困惑，因此要求我把论证写下来。于是我开始以更严格的方式来证明猜想是错的。由于收到卡拉比的信，我感觉非得提出证据，以支持我的大胆断言。因为这股压力，我努力工作了两个星期，几乎没怎么睡，把自己逼到几乎虚脱。但每当我以为终于把证明搞定时，论证总会在最后一刻崩溃，一次又一次重演，令人愈发沮丧。两周的煎熬下来，我判断必定是我的推理出了差错。唯一的办法是改弦易辙，改从反方向进攻。换句话说，我改而认定卡拉比猜想必定是对的！这令我的处境有点微妙：在如此努力否证猜想之后，我又倒过来要证明它成立。而如果猜想是对的，那么伴随它而来的一切，那些我们以为“好到难以置信”的一切，也必定都是对的。
我在1975年夏天完成了卡拉比猜想二阶估计的初步工作。除了决定出二阶估计，我还论证了二阶估计是如何依赖于零阶估计，以及如何可从零阶导出二阶估计。在完成二阶估计的工作后，我知道整个猜想的证明，现在完全维系在一个问题上：零阶估计。一旦解决零阶估计，我不但能得到二阶，同时也能得到一阶，就像是免费赠品一样。因为当有了零阶和二阶估计后，我们就确切知道如何求出一阶估计。这是所谓的幸运时刻，各阶估计之间会有怎样的关系全凭天意，而这次，老天爷是很大方的。
最后这一段研究，我是在纽约大学的库朗数学学院做的，尼伦柏格帮我在那里找到访问学者的职位，而我的未婚妻友云当时则在普林斯顿。没多久，友云得到在洛杉矶的工作机会，为了和她待在同一地点，我也接受了加州大学洛杉矶分校的访问教职。1976年，我们开车横越美国，准备到加州之后结婚（后来也如愿结婚了）。那是一段难忘的旅程，路上风光旖旎，我们正在热恋之中，规划着如何共度人生。但我得承认，我可不只是有点分心，卡拉比猜想还在我的心里憋着，尤其是极难证出的零阶估计。我花了整整一年的时间，最后在1996年9月，婚礼刚过之后，才求出零阶估计，证明于是大功告成。看来，我需要的正是婚姻生活。
当然，人们常说，验证布丁口味好坏最好的办法就是吃下去。意思是指，即使某物外表看来不错，也得真的经过测试才知道好坏。关于卡拉比的证明，这次我不愿冒任何风险。1973年时，我已在斯坦福丢过一次脸，在众所瞩目的场合上宣称我知道如何证明卡拉比猜想是错的。我自以为能够否定卡拉比猜想的证明，结果却有瑕疵；如果我肯定卡拉比猜想的证明又有瑕疵，那我就真的名誉扫地了。我自忖，在未及而立之年的这个生涯阶段，我不能再承受一次错误——至少不是在这么重要且受人关注的事情上犯错。
所以我检查再检查，用不同的方法，把证明从头到尾核对了四次。核对的工夫多到我发誓如果这次再出错，我就从此退出数学界。从任何角度看，我都找不出论证里有瑕疵，一切全都严丝合缝。当时还没有因特网，可以让我把初稿上传，向众人征询意见，我只能采用老法子：把证明的书面稿邮寄给卡拉比，然后到费城去和他及宾州大学的数学家卡兹当（Jerry Kazdan）等多位几何学家，面对面一起讨论。
卡拉比认为这个证明很扎实，但我们决定去找尼伦柏格，和他一起再逐步看过。因为要找到三人都有空的时间并不容易，我们终于约定在1976年的圣诞节见面，那时我们都没有其他要事缠身。那次的会面没发现任何错误，但真的要确定一切还需要更多时间。卡拉比回忆说：“证明大致看起来很完美。但它毕竟是很困难的证明，要彻底检查大约需要一个月的时间。”
这段彻底检查的时间结束时，卡拉比和尼伦柏格两人都认可了。看来卡拉比猜想终于被我证明了，而且此后三十余年，也没发现任何足以改变这项论断的疑问。如今，这个证明已被许多人用各种方法重复检验过许多次，很难想象其中还能藏有任何重大的瑕疵。
卡拉比-丘流形登场
寻找钻石的时候，幸运的话，你可能附带找到其他的宝石。我在1977年发表的一篇两页论文里，宣告完成了卡拉比猜想的证明。详细的证明则发表在1978年的73页论文中，在这篇文章里，我附带证明了另外五个相关的定理。总而言之，这些意外的收获，其实源自我思索卡拉比猜想时的非常境遇：我先是想证明他的猜想是错的，后来又掉头，试图证明它是对的。非常幸运，我所有努力都没有白费，每一着错步，每条看似不通的死路，后来都被我用上了。我号称的“反例”（从卡拉比猜想导出的结论，我想证明它们是错的），因为卡拉比猜想的成立，结果连带也是正确的。因此这些失败的反例，事实上是正确的典例，很快都成了数学定理，其中有些还颇为著名呢。
赛佛利猜想与这个应用范围更广的不等式是卡拉比证明最初的主要副产品，此后还有其他应用接踵而至。在思索卡拉比猜想的直接应用上，我可说是诸事顺遂，在短期间内解决了六七个问题。事实上一旦你知道存在某个度规，就会顺势得到许多结果。例如你可以反过来导出流形的拓扑性质，并不需要知道度规的确切表式。然后，又可以运用这些性质去指认出流形的唯一特色。这就好像你不需要知道星系中众星体的细节，就能辨识星系；或者，不需要知道整副牌的细节，就能推理出许多手中牌张的性质（牌数、大小、花色等）。
对我来说，这就是数学的神奇之处，比起巨细靡遗的细节齐备之后才能做推论，这样反而更能彰显数学的威力。
见到我艰苦的努力终于获得回报，或者看着他人继续向我没想到的路径迈进，都让我觉得心满意足。但尽管拥有这些好运道，还是有个想法不时在心头扯咬着我。在我内心深处，我很确定这项研究除了数学之外，在物理学中也一定有其意义，虽然我并不知道究竟为何。就某个观点而言，这个信念其实十分显然，因为在卡拉比猜想中求解的微分方程（黎奇曲率为零的情况），基本上就是真空的爱因斯坦方程，对应到的是没有背景能量或宇宙常数为零的宇宙（目前，一般认为宇宙常数是正值，和推动宇宙扩张的暗能量同义）。而卡拉比—丘流形就是爱因斯坦方程的解，就像单位圆是x2+y2=1的解一样。
当然，描述卡拉比—丘空间比圆需要更多的方程式，而且方程式本身也复杂得多，但是基本想法是相同的。卡拉比—丘方程不但满足爱因斯坦方程，而且形式格外优雅，至少我觉得有令人忘形之美。所以我认为它在物理学中必定占据着某个重要位置，只是不知道究竟在哪儿。
我能做的不多，只能不断告诉我的物理博士后研究员以及物理友人，为什么我认为卡拉比猜想以及从中出现的卡拉比—丘定理，也许对量子引力论很重要。主要的问题是我当时还不够了解量子引力，无法亲自将我的直觉付诸实践。这个念头经常出现在我脑海，但我往往只能在一旁枯坐，看看会有谁做出什么成果。
大概是1984年相近的时间，普林斯顿高等研究院的物理学家史聪闵格与得州大学喜好数学的物理学家菲利普·坎德拉斯（PhilipCandelas），开始合作研究哪种六维流形契合弦论所提出的确切条件，他们知道内空间的流形必须是紧致的（能从十维降到四维），并且曲率必须同时满足爱因斯坦引力方程，以及弦论的对称性条件。最后他们与另两位合作者赫罗维兹（Gary Horowitz）与威滕的探索，走到了我在卡拉比猜想中证明存在的空间（虽然当时威滕是依据他自己的想法做到的）。
史聪闵格观察说：“现代科学发展的优美之处，就是物理学家和数学家经常因不同的理由，却得到相同的结构。物理学家有时走在数学家的前头；有时候，则是数学家领先。这次的情况，是数学家拔得头筹，他们比我们早理解其中的意义。”
尽管史聪闵格所言不虚，但是像我这样的数学家，在一开始丝毫不知如何将卡拉比-丘流形和物理学连结起来的，也所在多有。我研究这些流形只是因它们很优美，也因为这份慑人的美丽，让我觉得物理学家一定用得着它，因为其中藏着值得挖掘的秘密。但是最终，一切还是得靠物理学家自己去找到连结，才能在几何学和物理学之间搭起桥梁。这类合作的美事，绽放出繁花似锦，至今不已。
至于如何建立连结的过程，本身又是另一段有趣的故事。“当时我了解的数学不多，不过通过理论，由流形该有的绕异群，我和卡拉比—丘流形连结起来了。”史聪闵格解释说：“我在图书馆中找到丘成桐的论文，但是大半都读不懂，不过从我理解的那一小部分，我意识到这个流形正是我们需要的。”尽管阅读我的论文或许不是个值得回忆的经验，但大约二十年后，史聪闵格仍对《纽约时报》的记者提起，他第一次偶遇卡拉比猜想证明时的激动之情。当时为了避免期待太高以致将来希望落空，史聪闵格先打电话给我，确定他对我文章的理解是正确的。我告诉他，他是对的。这一刻我领悟到，经过八年的守候，物理学家终于找到卡拉比—丘流形了。
因此，超对称就是带领物理学家进入这处晦涩的数学领域的原因。他们四人在1984年完成研究，随即以预印本的论文形式，告知物理界同行这项结果，正式的论文则到隔年才发表。这篇论文创造了“卡拉比—丘空间”这个名词，并向物理学界介绍了这个奇特的六维领域。
卡拉比说：“在这篇1985年的论文发表之前，我从未想过这个流形会有物理意义，它本来纯粹只有几何学上的意义。”但这篇论文改变了一切，顿时就将这个数学结构送到理论物理学的核心，这篇文章也让背后的两位数学家受到意料之外的瞩目。卡拉比回忆说：“我们被摆到媒体版图上，这样的事总令人受宠若惊，不断有人谈到卡拉比—丘空间，让我们徒增虚名，但这些其实不是我们的研究结果。”
至少有一段时间，卡拉比和我的研究成为物理学界的时尚风潮，而它的“媒体版图”甚至延伸到更广的领域。纽约有一出非主流的百老汇剧叫作《卡拉比—丘》; “多普勒效应”乐团（DopplerEffekt）有一张电子合成流行音乐专辑，名字叫作《卡拉比—丘空间》；意大利画家马丁（Francesco Martin）画了一幅名为《卡拉比—丘蒙娜丽莎》的画；还有伍迪·艾伦在《纽约客》的短篇故事中带到的笑点（“我的荣幸！”她说，然后带着娇媚的微笑蜷缩到一个卡拉比—丘空间中）。
对如此深奥的概念来说，这些真是令人意外的结果，因为这些流形不但难以用文字形容，更难以用视觉表现。就像某个物理学家说的，一个六维的空间“比我能自由自在想象的空间还多了三维”。事实上，真正的图像还要更复杂，因为在这些空间中，还有许多扭曲交缠的多维洞孔，洞孔的数目也许不多，但也可能像上等的瑞士起司一样，多达五百多个。
参考文献：
[1] Yau, Shing-Tung. “On the Ricci Curvature of a Compact Kähler Manifold and the Complex Monge-Ampère Equation, I.” Communications on Pure and Applied Mathematics, 31(3), 1978: 339–411.https://doi.org/10.1002/cpa.3160310304
[2] 丘成桐、史蒂夫·纳迪斯：《我的几何人生：丘成桐自传》，译林出版社，2021年。
[3] Candelas, Philip, Gary T. Horowitz, Andrew Strominger, and Edward Witten. “Vacuum Configurations for Superstrings.” Nuclear Physics B, 258(1), 1985: 46–74.https://doi.org/10.1016/0550-3213(85)90602-9
